Pointwise and uniform convergence of Fourier extensions

Fourier series approximations of continuous but nonperiodic functions on an interval suffer the Gibbs phenomenon, which means there is a permanent oscillatory overshoot in the neighbourhoods of the endpoints. Fourier extensions circumvent this issue by approximating the function using a Fourier series which is periodic on a larger interval. Previous results on the convergence of Fourier extensions have focused on the error in the L2 norm, but in this paper we analyze pointwise and uniform convergence of Fourier extensions (formulated as the best approximation in the L2 norm). We show that the pointwise convergence of Fourier extensions is more similar to Legendre series than classical Fourier series. In particular, unlike classical Fourier series, Fourier extensions yield pointwise convergence at the endpoints of the interval. Similar to Legendre series, pointwise convergence at the endpoints is slower by an algebraic order of a half compared to that in the interior. The proof is conducted by an analysis of the associated Lebesgue function, and Jackson- and Bernstein-type theorems for Fourier extensions. Numerical experiments are provided. We conclude the paper with open questions regarding the regularized and oversampled least squares interpolation versions of Fourier extensions

Utilisation des programmes de calcul pour introduire l'algèbre au collège

Dans cet article, nous rendons compte d'une partie du travail que nous fai-sons dans le cadre d'une recherche collaborative intitulée SESAMES (Situations d'Enseignement Scientifique : Activités de Modélisation, d'Evaluation, de Simulation) qui a pour but la production collaborative (par des enseignants et des chercheurs, chacun apportant une expertise dans son domaine) de ressources pour les enseignants et les formateurs de mathématiques favorisant la mise en activité des élèves et leur prise de responsabilité vis- à-vis des savoirs enseignés. Notre thème est celui de l'enseignement de l'algèbre au collège. Ces documents produits sont disponibles sur le site http://pegame.ens-lyon.fr/ Nous avons également travaillé dans le cadre du projet européen S-TEAM (Science Teacher Education Advanced Methods) qui vise à étudier l'évolution des pratiques des enseignants vers la mise en place des séances qui permettent aux élèves d'être plus actifs dans leurs apprentissages notamment en utilisant les démarches d'investigation ou des dispositifs proches

Algorithms for Function Approximation with Redundancy on Complex Geometries

The discretization of partial differential equations on domains with a complicated geometry requires a difficult meshing phase. This is often a laborious, manual process that typically starts from a CAD description of the geometry. It is not a secret that this process may take longer than the actual solver. A major current research interest is iso-geometric analysis, in which the basis functions of the CAD model are reused in the discretization of the governing PDE. This way, the meshing step can be avoided. In this project we intend to investigate a novel alternative, in which we embed the complicated domain in a larger bounding box. A mesh is not created: one can use a regular grid on the bounding box, and simply restrict that grid to the domain at hand. The major difficulty in this approach is that any basis for a function space on the bounding box constitutes a so-called frame on the embedded domain. Frames are redundant sets. In this setting it is clear that the frame is redundant, or overcomplete, because any function on the domain can be extended in many different ways to a function on the bounding box. Thus, one function on the domain can have many different representations in the frame. This redundancy leads to severe ill-conditioning. Fortunately, recent research in the division shows that this particular kind of ill-conditioning is harmless, and in fact benign. It can actually be exploited to improve numerical stability. The problem of approximating functions using a frame is well understood for Fourier-based approximations and efficient algorithms are becoming available at least for a few domains. It can be expected that similar, or better, algorithms can be devised using wavelets.status: publishe

On the adaptive spectral approximation of functions using redundant sets and frames.

status: accepte

Pointwise and uniform convergence of Fourier extensions

status: accepte

Différents types de dessins dans les activités d'argumentation en classe de 5ème

National audienceL'utilisation d'un dessin dans les activités d'argumentation en classe de 5ème ne va pas de soi ni pour les professeurs qui doivent, tout au long du collège, accompagner le changement de contrat concernant les niveaux de preuve, ni pour les élèves car le dessin peut être une aide à l'argumentation mais aussi un obstacle. Après avoir défini 5 types de dessin, dont les dessins à main levée et les dessins faux, nous avons proposé deux exercices comportant des dessins faux à une soixantaine d'élèves et nous montrons combien l'utilisation de cet outil est discutable

Différents types de dessins dans les activités d'argumentation en classe de 5ème

L'utilisation d'un dessin dans les activités d'argumentation en classe de Sème ne va pas de soi ni pour les professeurs qui doivent, tout au long du collège, accompagner le changement de contrat concernant les niveaux de preuve, ni pour les élèves car le dessin peut être une aide à l'argumentation mais aussi un obstacle. Après avoir défini S typés de dessin, dont les dessins à main levée et les dessins faux, nous avons proposé deux exercices comportant des dessins faux à une soixantaine d'élèves et nous montrons combien l'utilisation de cet outil est discutable